Risk aversion is the property that a decision maker prefers a certain amount to a gamble of the same expected value. Stated that way it sounds like a taste. Inside expected utility it is not a taste at all: it is a shape, the concavity of the utility function defined over wealth, and everything measurable about risk aversion follows from that shape.
The mechanism is marginal utility. If each additional unit of wealth adds less satisfaction than the one before it, then the utility lost from a downward move is larger than the utility gained from an equal upward move. The gamble is symmetric in money and asymmetric in utility, so the certain amount wins. Concavity is the assumption. The preference for certainty is the consequence, not a second assumption.
The framework that supplies the axioms behind this, and the framework built to replace it once its predictions failed in the laboratory, each have their own page in this section. What is treated here is narrower and more useful: how aversion is measured, how the measure behaves as wealth changes, and the one application where it does genuine work, which is the demand for insurance.
النفور من المخاطر خاصّيةُ أن يُؤثر متّخذ القرار مبلغًا مؤكّدًا على مراهنةٍ قيمتُها المتوقَّعة مساوية له. وهو بهذه الصياغة يبدو ذوقًا. وهو داخل المنفعة المتوقَّعة ليس ذوقًا البتّة: بل شكلٌ هندسي، أي تقعّرُ دالّة المنفعة المعرَّفة على الثروة، وكلُّ ما يُقاس في النفور من المخاطر تابعٌ لذلك الشكل.
والآليةُ هي المنفعة الحدّية. فإذا كانت كلُّ وحدة ثروةٍ إضافية تضيف رضًا أقلّ ممّا أضافته سابقتُها، صارت المنفعةُ المفقودة في حركةٍ هابطة أكبر من المنفعة المكسوبة في حركةٍ صاعدة مساوية لها. فالمراهنة متماثلةٌ في النقد وغيرُ متماثلة في المنفعة، فيفوز المبلغ المؤكّد. فالتقعّر هو الافتراض، وتفضيلُ اليقين لازمُه لا افتراضٌ ثانٍ.
وللإطار الذي يوفّر البديهيات وراء هذا، وللإطار الذي بُني ليحلّ محلّه بعد أن أخفقت تنبّؤاتُه في المختبر، صفحةٌ مستقلّة لكلٍّ منهما في هذا القسم. والمعالَج هنا أضيق وأنفع: كيف يُقاس النفور، وكيف يسلك المقياس مع تغيّر الثروة، وأين يعمل عملًا حقيقيًّا، وهو الطلب على التأمين.
Bernoulli, 1738. The St Petersburg problem: a gamble with infinite expected value that nobody will pay much to enter. Bernoulli's resolution was to say people value money by a concave function of it, logarithmic in his version, so the expected utility of the gamble is finite even when its expected value is not. Risk aversion enters economics here, as a fix for a paradox rather than as an observed preference.
von Neumann and Morgenstern, 1944. The axioms that make a utility function over outcomes exist and be unique up to a positive linear transformation. Without cardinality the curvature of the function has no meaning, so this is what turns concavity from a picture into a quantity.
Friedman and Savage, 1948. The observation that the same household buys insurance and lottery tickets in the same week. Their answer was a utility function with a concave region and a convex one. The answer is unsatisfying, and the puzzle it names is still open in the sense that no single-argument utility function resolves it cleanly.
Pratt, 1964, and Arrow, 1965. Independently, the measures that made risk aversion operational. Pratt derived the local risk premium and its relation to the curvature ratio. Arrow developed the same measure inside the portfolio problem and argued for decreasing absolute and roughly constant relative risk aversion on empirical grounds.
Mossin, 1968. The insurance result that ties the theory to a market. At an actuarially fair premium a risk averse buyer takes full coverage. At any loaded premium the optimum is strictly partial, which is the theoretical origin of the deductible.
Rabin, 2000. The calibration theorem, and the most serious attack on the framework from inside it. Modest risk aversion over small stakes, if it holds across wealth levels, implies refusals over large stakes that no observed person makes. This is treated in full under limits.
برنولي، ١٧٣٨. مسألة سان بطرسبرغ: مراهنةٌ قيمتُها المتوقَّعة لا نهائية ولا يدفع أحدٌ كثيرًا لدخولها. وكان حلُّ برنولي أن الناس يقيّمون المال بدالّةٍ مقعّرة فيه، لوغاريتمية في صياغته، فتصير المنفعةُ المتوقَّعة للمراهنة منتهيةً وإن لم تكن قيمتُها المتوقَّعة كذلك. وهنا دخل النفورُ من المخاطر علم الاقتصاد، علاجًا لمفارقةٍ لا وصفًا لتفضيلٍ ملاحَظ.
فون نويمان ومورغنشتيرن، ١٩٤٤. البديهيات التي تجعل دالّة المنفعة على النتائج موجودةً ووحيدةً حتى تحويلٍ خطّي موجب. ومن غير الترتيبية الكمّية لا معنى لانحناء الدالّة، فهذا ما يحوّل التقعّر من صورةٍ إلى كمّية.
فريدمان وسافيج، ١٩٤٨. ملاحظةُ أن الأسرة نفسها تشتري تأمينًا وتشتري أوراق يانصيب في الأسبوع نفسه. وكان جوابهما دالّةَ منفعةٍ ذات منطقةٍ مقعّرة وأخرى محدَّبة. والجوابُ غير مُقنع، واللغز الذي سمّياه ما يزال مفتوحًا بمعنى أن لا دالّة منفعةٍ أحاديةَ الوسيط تحلّه حلًّا نظيفًا.
برات، ١٩٦٤، وآرو، ١٩٦٥. استقلالًا، المقياسان اللذان جعلا النفور من المخاطر قابلًا للتشغيل. اشتقّ برات علاوةَ المخاطرة الموضعية وصلتَها بنسبة الانحناء. وطوّر آرو المقياس نفسه داخل مسألة المحفظة، ورأى لأسبابٍ تجريبية أن النفور المطلق متناقص والنسبي ثابتٌ تقريبًا.
موسين، ١٩٦٨. نتيجةُ التأمين التي تربط النظرية بسوق. فعند قسطٍ عادلٍ اكتواريًّا يأخذ المشتري النافر من المخاطر تغطيةً كاملة. وعند أيّ قسطٍ محمَّل يكون الأمثل جزئيًّا قطعًا، وهذا الأصل النظري لمبلغ التحمّل.
رابين، ٢٠٠٠. مبرهنةُ المعايرة، وأشدُّ هجومٍ على الإطار من داخله. فنفورٌ متواضع من مخاطر صغيرة، إن صدق على مستويات الثروة كلّها، يستلزم رفضًا لرهاناتٍ كبيرة لا يفعله إنسانٌ ملاحَظ. وهذا مبسوطٌ في قسم الحدود.
The certainty equivalent is the primitive. For a random wealth W, the certainty equivalent CE is the sure amount that gives the same utility as the gamble. The risk premium is the gap between the gamble's expected value and that sure amount. It is what the decision maker is willing to give up to be rid of the risk, measured in money, and it is the quantity insurance markets actually trade.
The Arrow-Pratt measures turn curvature into a number. The second derivative of utility alone will not do, because utility is unique only up to a positive linear transformation and rescaling changes it. Dividing by the first derivative removes the scale, which is why the ratio, not the second derivative, is the measure.
A(w) is absolute risk aversion and answers how much of a fixed currency amount is at stake. R(w) is relative risk aversion and answers how much of a proportion of wealth is at stake. For a small risk the two connect to the premium directly: the premium is approximately half of A(w) multiplied by the variance of the gamble, which is the sense in which variance matters at all in this theory.
| Utility form | Absolute risk aversion | Relative risk aversion | What it implies |
|---|---|---|---|
| Quadratic | Increasing | Increasing | The rich hold less in risky assets, which the data reject |
| Exponential, CARA | Constant | Increasing | Currency amount held in risky assets does not vary with wealth |
| Power or logarithmic, CRRA | Decreasing | Constant | Share of wealth in risky assets does not vary with wealth |
Decreasing absolute risk aversion is the empirically defensible restriction. It says a wealthier person puts more money, not necessarily a larger share, into a given risky prospect. It is the reason CRRA forms dominate applied work: they deliver decreasing absolute aversion and constant relative aversion at once, and constant relative aversion is what makes a model scale invariant and therefore tractable.
Insurance is the direct application. The maximum premium a buyer will pay for full cover equals the expected loss plus the risk premium, so the whole willingness to pay above actuarial cost is the concavity of utility expressed in money. Mossin's result follows: at a fair price full cover is optimal, and once the insurer loads the price the buyer optimally retains a first layer of loss. The deductible is not a device the insurer imposes on a reluctant buyer. It is what a risk averse buyer chooses once cover costs more than it is worth in expectation.
المكافئ اليقيني هو الأوّلي. لثروةٍ عشوائية W، المكافئ اليقيني CE هو المبلغ المؤكّد الذي يعطي المنفعة نفسها التي تعطيها المراهنة. وعلاوةُ المخاطرة هي الفجوة بين القيمة المتوقَّعة للمراهنة وذلك المبلغ المؤكّد. وهي ما يرضى متّخذ القرار بالتخلّي عنه ليتخلّص من المخاطرة، مقيسًا بالنقد، وهي الكمّية التي تتداولها أسواق التأمين فعلًا.
ومقياسا آرو وبرات يحوّلان الانحناء إلى عدد. فالمشتقّة الثانية للمنفعة وحدها لا تكفي، لأن المنفعة وحيدةٌ حتى تحويلٍ خطّي موجب فحسب، وإعادةُ القياس تغيّرها. والقسمةُ على المشتقّة الأولى تُذهب المقياس، ولهذا كانت النسبة هي المقياس لا المشتقّة الثانية.
فـA(w) هو النفور المطلق ويجيب عن قدر المبلغ النقدي الثابت المعرَّض. وR(w) هو النفور النسبي ويجيب عن قدر النسبة من الثروة المعرَّضة. ولمخاطرةٍ صغيرة يتّصل المقياسان بالعلاوة اتّصالًا مباشرًا: فالعلاوة تقارب نصف A(w) مضروبًا في تباين المراهنة، وبهذا المعنى وحده يكون للتباين شأنٌ في هذه النظرية.
| صيغة المنفعة | النفور المطلق | النفور النسبي | ما تستلزمه |
|---|---|---|---|
| تربيعية | متزايد | متزايد | الأغنياء يحملون أقلّ في الأصول الخطرة، وهذا ترفضه البيانات |
| أسّية، CARA | ثابت | متزايد | المبلغ النقدي في الأصول الخطرة لا يتغيّر بالثروة |
| قوّية أو لوغاريتمية، CRRA | متناقص | ثابت | حصّة الثروة في الأصول الخطرة لا تتغيّر بالثروة |
وتناقصُ النفور المطلق هو القيد القابل للدفاع تجريبيًّا. ومؤدّاه أن الأوفر ثروةً يضع مالًا أكثر، لا حصّةً أكبر بالضرورة، في احتمالٍ خطرٍ بعينه. وهو سبب غلبة صيغ CRRA في العمل التطبيقي: فهي تحقّق تناقص النفور المطلق وثبات النسبي معًا، وثباتُ النسبي هو ما يجعل النموذج ثابتًا تحت تغيّر المقياس ومن ثمّ قابلًا للمعالجة.
والتأمين هو التطبيق المباشر. فأقصى قسطٍ يدفعه المشتري لتغطيةٍ كاملة يساوي الخسارة المتوقَّعة زائدَ علاوة المخاطرة، فكلُّ الاستعداد للدفع فوق الكلفة الاكتوارية هو تقعّرُ المنفعة معبَّرًا عنه بالنقد. ومنه تلزم نتيجةُ موسين: فعند سعرٍ عادل تكون التغطية الكاملة هي الأمثل، ومتى حمّل المؤمِّن السعر احتفظ المشتري أمثليًّا بطبقةٍ أولى من الخسارة. فمبلغُ التحمّل ليس أداةً يفرضها المؤمِّن على مشترٍ كاره، بل ما يختاره مشترٍ نافرٌ من المخاطر متى صارت التغطية أغلى ممّا تساوي في التوقّع.
Elicitation is the whole methodological problem. Risk aversion is a parameter of a latent function, so every empirical claim depends on how the parameter was extracted. The standard instruments are the multiple price list with paired lotteries, the incentivized investment task where a subject allocates an endowment between a safe and a risky option, and the single survey item asking about willingness to take risks. They are not interchangeable.
Designs that work. Incentivized choice over real stakes, with the stakes varied enough that the estimated curvature is identified from more than one point. Field data where the price of risk changed exogenously, such as a change in a mandatory coverage limit or a deductible schedule. Insurance and annuity choices, where the menu is observed and the actuarial price can be computed, giving a revealed premium rather than a stated attitude.
Designs that fail. Inferring a coefficient from portfolio share alone, because the share reflects background risk, borrowing constraints, participation costs and beliefs about returns as much as it reflects curvature. Treating a single self-reported willingness item as a cardinal measure. Estimating curvature from choices over stakes that span one order of magnitude and then extrapolating to lifetime wealth risks.
Angles where the local setting does real theoretical work.
الاستخلاصُ هو المشكلة المنهجية كلُّها. فالنفور من المخاطر وسيطٌ في دالّةٍ كامنة، فكلُّ دعوى تجريبية موقوفةٌ على كيفية استخراج الوسيط. والأدوات المعيارية هي قائمةُ الأسعار المتعدّدة بمراهناتٍ مزدوجة، ومهمّةُ الاستثمار المحفَّزة التي يوزّع فيها المفحوص وقفًا بين خيارٍ آمن وآخر خطر، والبندُ المسحي المفرد الذي يسأل عن الاستعداد لتحمّل المخاطر. وهي ليست متبادلة.
التصاميم التي تنجح. الاختيار المحفَّز على رهاناتٍ حقيقية، بتنويعٍ في الرهانات يكفي لتحديد الانحناء من أكثر من نقطة. والبيانات الميدانية حيث تغيّر سعر المخاطرة تغيّرًا خارجيًّا، كتغيّر حدٍّ إلزامي للتغطية أو جدولِ تحمّل. واختياراتُ التأمين والمعاشات، حيث تُلاحَظ القائمة ويمكن حساب السعر الاكتواري، فتُنتَج علاوةٌ مُظهَرة لا موقفًا معلَنًا.
التصاميم التي تُخفق. استنتاجُ معامل من حصّة المحفظة وحدها، لأن الحصّة تعكس المخاطرة الخلفية وقيودَ الاقتراض وكلفةَ المشاركة والاعتقادات عن العوائد بقدر ما تعكس الانحناء. ومعاملةُ بندٍ واحد ذاتيّ التقرير مقياسًا كمّيًّا. وتقديرُ الانحناء من اختياراتٍ على رهاناتٍ تمتدّ رتبةً واحدة من المقدار ثم التعميمُ إلى مخاطر ثروة العمر.
زوايا يعمل فيها السياق المحلّي عملًا نظريًّا حقيقيًّا.
The calibration theorem is the decisive objection. Rabin showed that if a person rejects a fifty-fifty gamble of losing 100 and gaining 110 at every wealth level in a wide range, then the same utility function forces that person to reject a fifty-fifty gamble of losing 1,000 and gaining any amount at all, however large. The arithmetic is not subtle: rejecting a small favourable bet requires marginal utility to fall so fast over a narrow wealth interval that, compounded, it makes large upside worthless. No observed person behaves this way. The implication is that small-stakes risk aversion cannot come from the curvature of utility over wealth, which removes the framework's explanation for most of the risk aversion actually measured in laboratories.
One parameter is doing several jobs. In the standard time-separable model the same curvature governs attitude to risk and willingness to substitute consumption across periods. These are conceptually independent, and forcing them to be reciprocals of each other is an artefact of the functional form. Recursive preferences separate them, at the cost of losing the simple mapping from curvature to a single number.
Elicited coefficients are unstable and instrument-dependent. The same subject yields different coefficients from different tasks and from the same task on a different day. A literature that reports a coefficient to two decimal places without reporting the instrument's reliability is reporting precision it does not have.
It has nothing to say about ambiguity. The theory assumes probabilities are known. Where they are not, behaviour departs systematically from expected utility in a direction risk aversion cannot represent, and most consequential risks in insurance and enterprise settings are ambiguous rather than merely risky.
Revealed measures are confounded by constraints. Low observed exposure to risk can mean high aversion, or a binding liquidity constraint, or a participation cost, or a belief that returns are poor. Without a design that separates them, an estimated coefficient is a residual absorbing whatever the model left out.
مبرهنةُ المعايرة هي الاعتراض الحاسم. بيّن رابين أن من يرفض مراهنةً متكافئةً خسارتُها ١٠٠ وكسبُها ١١٠ عند كلّ مستوى ثروةٍ في مدًى واسع، فإن دالّة المنفعة نفسها تُلجئه إلى رفض مراهنةٍ متكافئة خسارتُها ١٠٠٠ وكسبُها أيُّ مبلغٍ كان مهما عظُم. والحسابُ ليس خفيًّا: فرفضُ رهانٍ صغيرٍ مواتٍ يقتضي هبوطَ المنفعة الحدّية هبوطًا سريعًا على فترة ثروةٍ ضيّقة، فإذا تراكم جعل الجانبَ الصاعد الكبير بلا قيمة. ولا يسلك إنسانٌ ملاحَظ هذا المسلك. ولازمُ ذلك أن النفور من المخاطر الصغيرة لا يمكن أن يأتي من انحناء المنفعة على الثروة، وهذا يُسقط تفسير الإطار لأكثر النفور المقيس في المختبرات فعلًا.
ووسيطٌ واحد يؤدّي وظائف عدّة. ففي النموذج المعياري المنفصل زمنيًّا يحكم الانحناءُ نفسُه الموقفَ من المخاطرة والاستعدادَ لإحلال الاستهلاك بين الفترات. وهما مستقلّان تصوّرًا، وإلزامُهما بأن يكون كلٌّ مقلوبَ الآخر أثرٌ من آثار الصيغة الدالّية. والتفضيلاتُ العَوْدية تفصل بينهما، بثمن فقدان التناظر البسيط بين الانحناء وعددٍ واحد.
والمعاملات المستخلَصة غير مستقرّة ومرهونة بالأداة. فالمفحوص الواحد يعطي معاملاتٍ مختلفة من مهامّ مختلفة، ومن المهمّة نفسها في يومٍ آخر. وأدبياتٌ تبلّغ معاملًا بمنزلتين عشريتين من غير إبلاغ ثبات الأداة إنما تبلّغ دقّةً لا تملكها.
وليس عندها قولٌ في الغموض. فالنظرية تفترض الاحتمالات معلومة. وحيث لا تكون كذلك يفارق السلوكُ المنفعةَ المتوقَّعة مفارقةً منهجية في اتجاهٍ لا يستطيع النفور من المخاطر تمثيله، وأكثرُ المخاطر ذات الأثر في التأمين وفي سياقات المنشآت غامضةٌ لا خطرةٌ فحسب.
والمقاييس المُظهَرة مشوَّشة بالقيود. فانخفاضُ التعرّض الملاحَظ للمخاطرة قد يعني نفورًا عاليًا، أو قيدَ سيولةٍ ملزِمًا، أو كلفةَ مشاركة، أو اعتقادًا بضعف العوائد. ومن غير تصميمٍ يفصل بينها يكون المعامل المقدَّر بقيّةً تمتصّ كلَّ ما أغفله النموذج.