Value at Risk answers a question a board can hold in its head. Over the next trading day, with 99 percent probability, the loss on this portfolio will not exceed a single stated figure. One number, two parameters, one sentence. That compression is the whole reason the measure spread across banking in under a decade, and it is also the reason its failures matter.
Formally VaR is a quantile of the loss distribution. Fix a horizon and a confidence level, look at the distribution of losses over that horizon, and read off the loss that is exceeded only with the residual probability. It is not a worst case and it does not claim to be. It is the boundary between the ordinary part of the tail and the part the measure refuses to describe.
What makes VaR worth studying is not its statistics, which are elementary, but its institutional life. It became regulatory capital under the Basel market risk framework, it became the language of internal trading limits, and it became the number in the risk section of annual reports. A statistic embedded that deeply changes the behaviour it measures, and the most interesting research on VaR is about that feedback rather than about estimation accuracy.
تجيب القيمة المعرَّضة للخطر عن سؤالٍ يستطيع مجلس الإدارة حملَه في ذهنه. ففي يوم التداول القادم، وباحتمال تسعةٍ وتسعين في المئة، لن تتجاوز خسارةُ هذه المحفظة رقمًا واحدًا معلَنًا. رقمٌ واحد، ووسيطان، وجملةٌ واحدة. وهذا الاختزال هو كلُّ سبب انتشار المقياس في المصرفية في أقلّ من عقد، وهو كذلك سبب خطورة إخفاقاته.
والقيمة المعرَّضة للخطر في التعريف الدقيق مئينٌ من توزيع الخسارة. فثبّت أفقًا ومستوى ثقة، وانظر توزيع الخسائر على ذلك الأفق، واقرأ الخسارة التي لا تُتجاوَز إلا بالاحتمال المتبقّي. وهي ليست أسوأ الحالات ولا تدّعي ذلك. بل هي الحدّ الفاصل بين الجزء المعتاد من الذيل والجزء الذي يمتنع المقياسُ عن وصفه.
وما يجعل هذا المقياس جديرًا بالدرس ليس إحصاءَه، فهو أوّليّ، بل حياته المؤسسية. فقد صار رأسَ مالٍ نظاميًّا في إطار بازل لمخاطر السوق، وصار لغةَ حدود التداول الداخلية، وصار الرقمَ الذي يظهر في قسم المخاطر من التقرير السنوي. وإحصاءٌ يترسّخ إلى هذا الحدّ يغيّر السلوك الذي يقيسه، وأطرفُ البحوث فيه إنما هي في هذه التغذية الراجعة لا في دقّة التقدير.
Group of Thirty, 1993. The derivatives practices report that pushed dealers towards daily mark to market and a consolidated measure of market exposure. It set the demand that VaR was built to meet.
RiskMetrics, 1994. J.P. Morgan published its internal methodology and, more consequentially, the volatility and correlation datasets needed to run it. Releasing the data rather than only the method is what made adoption possible for firms with no quantitative group of their own, and it standardised a set of choices, notably the exponentially weighted volatility estimator, that later became defaults nobody re-examined.
Basel Committee, 1996. The market risk amendment allowed banks to use internal VaR models for regulatory capital, at 99 percent over ten days, multiplied by a factor of at least three and policed by backtesting. This converted a management statistic into a binding capital constraint, which is the moment incentives around the number changed.
Artzner, Delbaen, Eber and Heath, 1999. Coherent measures of risk. Rather than proposing a better statistic, they asked what properties any acceptable risk measure must have and derived four axioms. VaR satisfies three and fails subadditivity. This is the deepest critique the measure has received, because it is not about estimation error at all.
Danielsson and colleagues, 2001 onwards. The endogeneity critique. Risk measured from market prices is not exogenous when every large participant manages to the same measure, so the statistic understates risk in calm periods precisely because those periods are calm.
Basel Committee, 2016 and 2019. The revised market risk framework replaced 99 percent VaR with 97.5 percent expected shortfall, added liquidity horizons that differ by risk factor, and tightened the model approval process. The successor measure is now the regulatory standard, though VaR remains the internal reporting default in most institutions.
مجموعة الثلاثين، ١٩٩٣. تقريرُ ممارسات المشتقّات الذي دفع المتعاملين إلى التقويم اليومي بالسوق وإلى مقياسٍ موحَّد للتعرّض السوقي. وهو الذي أنشأ الطلب الذي بُنيت القيمة المعرَّضة للخطر لتلبيته.
رِسك مِتركس، ١٩٩٤. نشرت جي بي مورغان منهجيّتها الداخلية، والأهمّ من ذلك بيانات التقلّب والارتباط اللازمة لتشغيلها. وإتاحةُ البيانات لا المنهج وحده هي ما أتاح التبنّي لمنشآتٍ لا فريق كمّيّ لديها، وهي التي وحّدت جملةً من الاختيارات، وفي مقدّمتها مقدّرُ التقلّب الموزون أُسّيًّا، فصارت افتراضاتٍ لم يُعِد أحدٌ النظر فيها.
لجنة بازل، ١٩٩٦. أتاح تعديلُ مخاطر السوق للمصارف استعمال نماذجها الداخلية لأغراض رأس المال النظامي، عند تسعةٍ وتسعين في المئة على عشرة أيام، مضروبةً في معامل لا يقلّ عن ثلاثة، ومضبوطةً بالاختبار الرجعي. وبهذا تحوّل إحصاءٌ إداري إلى قيدٍ رأسمالي ملزِم، وعندها تغيّرت الحوافز المحيطة بالرقم.
أرتزنر ودلبان وإيبر وهيث، ١٩٩٩. مقاييس المخاطرة المتّسقة. لم يقترحوا إحصاءً أفضل، بل سألوا: أيّ خصائصَ يجب أن تتوافر في أيّ مقياس مخاطرةٍ مقبول؟ فاشتقّوا أربع بديهيات. وتحقّق القيمةُ المعرَّضة للخطر ثلاثًا وتُخفق في الجمعية الجزئية. وهذا أعمق نقدٍ تلقّاه المقياس، لأنه ليس في خطأ التقدير البتّة.
دانييلسون وزملاؤه، ٢٠٠١ وما بعدها. نقدُ الداخلية. فالمخاطرة المقيسة من أسعار السوق ليست خارجيةً حين يدير كلُّ مشاركٍ كبير على المقياس نفسه، فيهوّن الإحصاءُ من المخاطرة في الفترات الهادئة لأنها هادئة بالضبط.
لجنة بازل، ٢٠١٦ و٢٠١٩. استبدل إطارُ مخاطر السوق المنقَّح بالقيمة المعرَّضة للخطر عند تسعةٍ وتسعين في المئة العجزَ المتوقَّع عند سبعةٍ وتسعين ونصف، وأضاف آفاق سيولةٍ تختلف بحسب عامل المخاطرة، وشدّد إجراءات اعتماد النماذج. فصار المقياس الخَلَف هو المعيار النظامي، وإن بقيت القيمة المعرَّضة للخطر الافتراضَ السائد في الإبلاغ الداخلي بأكثر المؤسسات.
Two parameters and nothing else. The horizon should match the time needed to unwind or hedge the position, which is why a trading book uses one or ten days and a pension book does not. The confidence level is a policy choice, not a statistical one: 99 percent is a capital convention, 95 percent a management convention, and the two are not comparable across firms without conversion.
The square root of time scaling in that expression assumes returns are independent across days and volatility is constant. Both assumptions fail in the periods that matter, and scaling a one day figure to ten days by this rule understates the ten day loss whenever volatility clusters.
| Approach | How the loss distribution is obtained | What it assumes | Where it breaks |
|---|---|---|---|
| Historical simulation | Reprice today's positions under each of the last N days of factor moves and read the quantile of the resulting losses | The chosen window is a fair sample of tomorrow, and each day is equally likely | The window excludes the relevant event; a shift in volatility regime; the estimate jumps as a crisis day leaves the window |
| Variance-covariance | Estimate volatilities and a correlation matrix, assume a joint normal distribution, read the quantile analytically | Returns are jointly normal and positions are linear in the risk factors | Fat tails and skew; any convex payoff, so options are mispriced by construction; correlations that rise in stress |
| Monte Carlo | Simulate many factor paths from an assumed stochastic process and fully revalue the portfolio on each | The assumed process, its parameters and the pricing models used in revaluation | Model risk moves from the distribution to the process; cost of full revaluation forces shortcuts that reintroduce the linearity problem |
Backtesting is the discipline that keeps the number honest. Count the days on which the actual loss exceeded the VaR reported for that day. At 99 percent over 250 trading days the expected count is two or three. The Basel traffic light turns that count into a capital consequence: zero to four exceptions is the green zone and the multiplier stays at three; five to nine is the yellow zone and the multiplier rises in steps up to roughly 3.85; ten or more is red, the multiplier goes to four and the model is presumed defective until the bank shows otherwise.
Expected shortfall is the successor. It is the average loss conditional on being in the tail beyond the VaR threshold, so it uses the information VaR discards. It is subadditive and therefore coherent, and the revised Basel framework adopted it at 97.5 percent, a level chosen so that the resulting capital is broadly comparable to 99 percent VaR under a normal distribution. It is not a free upgrade: expected shortfall is harder to backtest directly, because it is not elicitable in the way a quantile is, and supervisors backtest the underlying VaR quantiles as a proxy.
وسيطان لا غير. وينبغي أن يوافق الأفقُ الزمنَ اللازم لتصفية المركز أو تحوّطه، ولهذا يستعمل دفتر المتاجرة يومًا أو عشرة أيام ولا يستعملها دفترُ التقاعد. ومستوى الثقة اختيارٌ سياساتي لا إحصائي: فتسعةٌ وتسعون في المئة عُرفٌ رأسمالي، وخمسةٌ وتسعون عُرفٌ إداري، وليسا قابلين للمقارنة بين المنشآت من غير تحويل.
وتحجيمُ الزمن بالجذر التربيعي في هذا التعبير يفترض استقلال العوائد بين الأيام وثباتَ التقلّب. والافتراضان يُخفقان في الفترات ذات الشأن، وتحجيمُ رقم يومٍ واحد إلى عشرة أيام بهذه القاعدة يهوّن من خسارة العشرة كلّما تعنقد التقلّب.
| الطريقة | كيف يُستخرَج توزيع الخسارة | ما تفترضه | أين تنكسر |
|---|---|---|---|
| المحاكاة التاريخية | إعادةُ تسعير مراكز اليوم على حركات العوامل في كلٍّ من الأيام N الماضية ثم قراءةُ مئين الخسائر الناتجة | أن النافذة المختارة عيّنةٌ منصفة للغد، وأن كلّ يومٍ متساوي الاحتمال | خلوّ النافذة من الحدث ذي الشأن؛ وتحوّلُ نظام التقلّب؛ وقفزُ التقدير حين يخرج يومُ أزمةٍ من النافذة |
| التباين والتغاير | تقديرُ التقلّبات ومصفوفة الارتباط، وافتراضُ توزيعٍ طبيعي مشترك، وقراءةُ المئين تحليليًّا | أن العوائد طبيعيةٌ مشتركة وأن المراكز خطّية في عوامل المخاطرة | الذيول السمينة والالتواء؛ وأيُّ عائدٍ محدَّب، فالخيارات تُقاس خطأً بالبناء؛ والارتباطاتُ التي ترتفع في الضغط |
| مونت كارلو | محاكاةُ مساراتٍ كثيرة للعوامل من عمليةٍ عشوائية مفترَضة مع إعادة تقويمٍ كامل للمحفظة في كلٍّ منها | العمليةُ المفترَضة ووسائطُها ونماذجُ التسعير المستعملة في إعادة التقويم | ينتقل خطرُ النموذج من التوزيع إلى العملية؛ وكلفةُ التقويم الكامل تفرض اختصاراتٍ تعيد مشكلة الخطّية |
والاختبار الرجعي هو الضابط الذي يُبقي الرقم صادقًا. فعُدّ الأيامَ التي تجاوزت فيها الخسارةُ الفعلية القيمةَ المعلَنة لذلك اليوم. وعند تسعةٍ وتسعين في المئة على مئتين وخمسين يوم تداولٍ يكون العدد المتوقَّع اثنين أو ثلاثة. وإشارةُ بازل الثلاثية تحوّل هذا العدّ إلى أثرٍ رأسمالي: فمن صفرٍ إلى أربع تجاوزات نطاقٌ أخضر ويبقى المعامل عند ثلاثة؛ ومن خمسٍ إلى تسعٍ نطاقٌ أصفر ويرتفع المعامل تدريجًا حتى نحو ٣٫٨٥؛ وعشرٌ فأكثر نطاقٌ أحمر، فيبلغ المعامل أربعة ويُفترَض النموذج معيبًا حتى يثبت المصرف خلاف ذلك.
والعجز المتوقَّع هو الخَلَف. وهو متوسّط الخسارة بشرط الوقوع في الذيل وراء عتبة القيمة المعرَّضة للخطر، فهو يستعمل المعلومة التي يطرحها سلفُه. وهو محقِّقٌ للجمعية الجزئية ومن ثمّ متّسق، وقد اعتمده إطار بازل المنقَّح عند سبعةٍ وتسعين ونصف في المئة، وهو مستوًى اختير ليكون رأس المال الناتج مقاربًا لما ينتج عن تسعةٍ وتسعين في المئة تحت توزيعٍ طبيعي. وليست الترقية مجّانية: فالعجز المتوقَّع أصعبُ في الاختبار الرجعي المباشر، لأنه غير قابلٍ للاستنباط بالطريقة التي يُستنبَط بها المئين، فيلجأ المشرفون إلى اختبار مئينات القيمة المعرَّضة للخطر الكامنة بديلًا.
The standard empirical design is a model comparison with out of sample backtests. Estimate several specifications on a rolling window, produce one step ahead forecasts, and evaluate exceedance counts and their independence. This is honest work and it is crowded, so a contribution has to come from the data or the setting rather than from adding another volatility specification to the horse race.
The second design is institutional. Treat the reported VaR figure as disclosure and ask what it predicts. Banks publish VaR in annual reports, and whether the disclosed number forecasts subsequent trading revenue volatility is a testable question with a clear null. Where it does not, the interesting result is why: model choice, aggregation across desks, or a reporting incentive.
Designs that fail. Comparing models on in-sample fit, which rewards overfitting. Reading a lower estimated VaR as lower risk when the estimate came from a calmer window. Testing coverage on a sample so short that the test cannot distinguish a good model from a bad one.
Angles the local setting makes distinctive.
التصميم التجريبي المعياري مقارنةُ نماذج باختباراتٍ رجعية خارج العيّنة. فقدِّر مواصفاتٍ عدّة على نافذةٍ متدحرجة، وأنتِج تنبّؤات خطوةٍ واحدة إلى الأمام، وقوِّم أعداد التجاوزات واستقلالَها. وهذا عملٌ أمين وهو مزدحم، فلا بدّ أن يأتي الإسهام من البيانات أو السياق لا من إضافة مواصفة تقلّبٍ أخرى إلى السباق.
والتصميم الثاني مؤسسي. عامِل الرقمَ المعلَن إفصاحًا واسأل عمّا يتنبّأ به. فالمصارف تنشر القيمة المعرَّضة للخطر في تقاريرها السنوية، وهل يتنبّأ الرقمُ المفصَح عنه بتقلّب إيرادات المتاجرة اللاحق سؤالٌ قابل للاختبار بفرضية عدمٍ واضحة. وحيث لا يتنبّأ تكون النتيجةُ المثيرة في السبب: اختيارُ النموذج، أو التجميعُ عبر المكاتب، أو حافزٌ إبلاغي.
وتصاميم تُخفق. مقارنةُ النماذج على المطابقة داخل العيّنة، وهي تكافئ الإفراط في المواءمة. وقراءةُ تقديرٍ أدنى على أنه مخاطرةٌ أدنى مع أن التقدير جاء من نافذةٍ أهدأ. واختبارُ التغطية على عيّنةٍ من القصر بحيث يعجز الاختبار عن تمييز نموذجٍ جيّد من رديء.
زوايا يجعلها السياق المحلّي متميّزة.
It says nothing about losses beyond the quantile. Two portfolios with an identical 99 percent VaR of 10 million can have an average loss in the worst 1 percent of 12 million and 400 million respectively. The measure is defined to be silent about exactly the region that destroys institutions. This is not an estimation problem and no amount of better data fixes it.
It is not subadditive, so it is not a coherent risk measure. In the Artzner sense, merging two portfolios can produce a VaR larger than the sum of their separate VaRs. That breaks the intuition that diversification cannot increase risk, and it breaks risk aggregation as an arithmetic operation: a firm cannot in general add desk-level VaRs and obtain a bound on firm-level VaR. Expected shortfall does not have this defect.
It is estimated from a period that may not contain the relevant event. Historical simulation can only produce losses that resemble something in its window. A window that ends before a regime change, or one that has just dropped a crisis, produces a low number for a mechanical reason and reports it with the same confidence as any other. The estimate is a statement about the past dressed as a statement about tomorrow.
It can be gamed, and the gaming is easy. Any position that moves loss beyond the quantile lowers reported VaR while raising tail exposure. Writing deep out of the money options is the textbook case: premiums come in, the loss never appears in the ordinary 99 percent of outcomes, and the measured risk falls as the actual risk rises. Where VaR sets capital or trading limits, this is not a hypothetical incentive.
Its widespread use changes the risk it measures. When many large participants manage to the same measure, calm periods lower everyone's measured risk at once, capacity expands, and a shock then forces correlated deleveraging. Risk estimated from prices is endogenous to the behaviour the estimate induces, which no single-firm model can capture.
لا تقول شيئًا عن الخسائر وراء المئين. فمحفظتان لهما القيمة نفسها عند تسعةٍ وتسعين في المئة، عشرةُ ملايين، قد يكون متوسّط الخسارة في أسوأ واحدٍ في المئة اثني عشر مليونًا في إحداهما وأربعمئة مليون في الأخرى. فالمقياس معرَّفٌ ليصمت عن المنطقة التي تُهلك المؤسسات بعينها. وليست هذه مشكلة تقدير، ولا يعالجها تحسينُ البيانات مهما بلغ.
وهي غير محقِّقةٍ للجمعية الجزئية، فليست مقياسَ مخاطرةٍ متّسقًا. فبمعنى أرتزنر قد يعطي دمجُ محفظتين قيمةً أكبر من مجموع قيمتيهما منفردتين. وهذا يكسر البداهةَ القائلة إن التنويع لا يزيد المخاطرة، ويكسر تجميعَ المخاطر بوصفه عمليةً حسابية: فلا تستطيع المنشأة عمومًا جمعَ قيم المكاتب لتحصل على حدٍّ أعلى لقيمة المنشأة. والعجزُ المتوقَّع خالٍ من هذا العيب.
وهي مقدَّرةٌ من فترةٍ قد لا تحوي الحدث ذا الشأن. فالمحاكاة التاريخية لا تنتج إلا خسائر تشبه شيئًا في نافذتها. ونافذةٌ تنتهي قبل تحوّل نظام، أو نافذةٌ أسقطت لتوّها يومَ أزمة، تنتج رقمًا منخفضًا لسببٍ ميكانيكي وتبلّغه بالثقة نفسها التي تبلّغ بها غيره. فالتقديرُ قولٌ في الماضي مُلبَسٌ لباسَ قولٍ في الغد.
ويمكن التحايل عليها، والتحايلُ سهل. فكلُّ مركزٍ ينقل الخسارة إلى ما وراء المئين يخفض القيمة المعلَنة ويرفع التعرّض الذيلي. وبيعُ الخيارات البعيدة خارج النقود هو المثال المدرسي: تدخل الأقساط، ولا تظهر الخسارة في التسعة والتسعين في المئة المعتادة من النتائج، فتهبط المخاطرة المقيسة والمخاطرة الفعلية ترتفع. وحيث تحدّد القيمةُ رأسَ المال أو حدودَ التداول لا يكون هذا حافزًا افتراضيًّا.
وشيوعُ استعمالها يغيّر المخاطرة التي تقيسها. فحين يدير مشاركون كبار كثيرون على المقياس نفسه، تخفض الفتراتُ الهادئة مخاطرةَ الجميع المقيسة دفعةً واحدة، فتتوسّع الطاقة، ثم تفرض صدمةٌ تخفيضَ رفعٍ مالي متزامنًا. فالمخاطرةُ المقدَّرة من الأسعار داخليةٌ في السلوك الذي يستحثّه التقدير، وهذا ما لا يلتقطه نموذجُ منشأةٍ واحدة.