A queue forms whenever arrivals are random and service is finite. The statement is obvious and its consequence is not: a server that is on average faster than the arrivals will still accumulate a queue, because randomness bunches the arrivals and stretches the service, and the bunches do not cancel out. Queuing theory is the formal treatment of how much waiting that randomness produces, and of what changes it.
The theory began in telephone exchanges and its home is now operations. Every emergency department, port, call centre, airport security lane, production cell and government service counter is a queue, and the same handful of results applies to all of them. The results point in a consistent and counterintuitive direction: waiting rises nonlinearly with utilization, variability costs as much as load, and pooling servers helps more than adding them.
Among management theories it is unusual in being a body of proved results rather than contested hypotheses. Little's law is a theorem. The M/M/1 formulas are derivations. What is contested is what happens when the assumptions meet human behaviour: customers who leave, servers who speed up under pressure, arrival rates that change by the hour. That is where the empirical work sits, and where a doctoral contribution is most likely to be found.
The vocabulary is small. An arrival rate, a service rate, a number of servers, a queue discipline and a description of the variability in arrivals and service are enough to specify a model, and Kendall's notation compresses most of that into three symbols. What the model returns is the distribution of the number in the system and of the time spent in it, from which every managerial quantity follows.
يتكوّن الطابور كلّما كانت الوصولات عشوائية والخدمةُ محدودة. والعبارةُ بدهية ولازمُها ليس كذلك: فخادمٌ أسرع في المتوسّط من الوصولات سيراكم طابورًا مع ذلك، لأن العشوائية تكتّل الوصولات وتمدّ الخدمة، والتكتّلات لا يلغي بعضُها بعضًا. ونظرية الطابور هي المعالجة الصورية لكم انتظارٍ تنتجه تلك العشوائية، ولما يغيّره.
وبدأت النظرية في مقاسم الهاتف وموطنُها الآن العمليات. فكلُّ قسم طوارئ، وميناء، ومركز اتصال، وممرّ تفتيشٍ في مطار، وخليّة إنتاج، وشبّاك خدمةٍ حكومية، طابور، والحفنةُ نفسها من النتائج تنطبق عليها جميعًا. والنتائجُ تشير في اتجاهٍ متّسق ومخالف للحدس: فالانتظار يرتفع بغير خطّيةٍ مع الاستغلال، والتباينُ يكلّف بقدر الحمل، وتجميعُ الخوادم ينفع أكثر من إضافتها.
وهي بين نظريات الإدارة غير معتادة في كونها جملةَ نتائج مبرهَنة لا فرضياتٍ متنازَعة. فقانون ليتل مبرهنة. وصيغ M/M/1 اشتقاقات. وما هو متنازَع هو ما يحدث حين تلقى الافتراضاتُ السلوكَ البشري: عملاء يغادرون، وخوادم تسرع تحت الضغط، ومعدّلات وصولٍ تتغيّر بالساعة. وهناك يقع العمل التجريبي، وهناك يُرجَّح أن يوجد إسهام الدكتوراه.
والمفردات قليلة. فمعدّلُ وصول، ومعدّلُ خدمة، وعددُ خوادم، ونظامُ طابور، ووصفٌ للتباين في الوصول والخدمة، تكفي لتحديد نموذج، وترميزُ كندال يضغط أكثر ذلك في ثلاثة رموز. وما يعيده النموذج توزيعُ العدد في النظام والزمن المقضيّ فيه، ومنهما يلزم كلُّ كمّيةٍ إدارية.
Erlang, 1909 and 1917. An engineer at the Copenhagen telephone company asked how many circuits an exchange needed so that callers were rarely blocked. He showed that call arrivals follow a Poisson process and derived the formulas, still called Erlang B and Erlang C, for the probability of blocking and of delay. Call centres are staffed with Erlang C to this day, usually without knowing it.
Pollaczek, 1930, and Khinchine, 1932. The mean waiting time for a single server with Poisson arrivals and any service distribution. The formula's importance is that the variance of service time enters directly: two servers with the same average speed produce different queues if one is more erratic. This is the first formal appearance of the claim that variability, not only load, drives waiting.
Kendall, 1953. The notation A/S/c, arrivals, service, servers, and the embedded Markov chain method for solving queues that are not memoryless at every instant. The paper made the field systematic: after it, a queue could be named and classified, and results could be compared across models.
Jackson, 1957. Networks of queues. Under Poisson arrivals and exponential service, a network of connected stations behaves as if each station were an independent M/M/c queue, and the joint distribution factorizes. The result is what makes multi-stage production lines and hospital patient flows tractable, and its assumptions are what make them approximate.
Little, 1961. The proof that the average number in a system equals the arrival rate times the average time in it. The relation had been used before; Little proved it holds for any stationary system regardless of arrival or service distribution, queue discipline or number of servers. It is the single most used result in operations, and the one most often stated as if it were an approximation.
Kingman, 1961, and the behavioural turn. Kingman's heavy-traffic approximation for the general single-server queue separates waiting into a utilization factor, a variability factor and a service time, which is the form Hopp and Spearman later used as the foundation of factory physics. The rival reading came from Maister, 1985, and Larson, 1987: queues are populated by people who perceive waiting, abandon, resent unfairness and behave strategically, and a model that treats them as particles will mispredict. That critique opened the empirical literature.
إرلانغ، ١٩٠٩ و١٩١٧. سأل مهندسٌ في شركة الهاتف بكوبنهاغن كم دارةً يحتاج المقسم كي نادرًا ما يُحجب المتّصلون. فبيّن أن وصولات المكالمات تتبع عمليةَ بواسون، واشتقّ الصيغتين، وما تزالان تُسمّيان إرلانغ B وإرلانغ C، لاحتمال الحجب واحتمال التأخير. وما تزال مراكز الاتصال تُزوَّد بالموظفين بإرلانغ C إلى اليوم، من غير علمٍ بذلك في الغالب.
بولاتشيك، ١٩٣٠، وخينتشين، ١٩٣٢. متوسّط زمن الانتظار لخادمٍ واحد بوصولات بواسون وأيّ توزيعٍ للخدمة. وأهميةُ الصيغة أن تباين زمن الخدمة يدخل فيها مباشرة: فخادمان بالسرعة المتوسّطة نفسها ينتجان طابورين مختلفين إن كان أحدهما أشدّ اضطرابًا. وهذا أول ظهورٍ صوري لدعوى أن التباين، لا الحمل وحده، يقود الانتظار.
كندال، ١٩٥٣. الترميز A/S/c، الوصول والخدمة والخوادم، ومنهجُ سلسلة ماركوف المضمَّنة لحلّ طوابير ليست عديمة الذاكرة في كل لحظة. وجعلت الورقة الحقل منهجيًّا: فبعدها صار الطابور يُسمّى ويُصنَّف، وصارت النتائج تُقارَن بين النماذج.
جاكسون، ١٩٥٧. شبكات الطوابير. فتحت وصولات بواسون وخدمةٍ أسّية تتصرّف شبكةٌ من المحطّات المتّصلة كأن كل محطّةٍ طابور M/M/c مستقلّ، ويتحلّل التوزيع المشترك إلى عوامل. وهذه النتيجة هي ما يجعل خطوط الإنتاج متعدّدة المراحل وتدفّقات المرضى في المستشفيات قابلةً للحلّ، وافتراضاتُها هي ما يجعلها تقريبية.
ليتل، ١٩٦١. برهانُ أن متوسّط العدد في النظام يساوي معدّل الوصول مضروبًا في متوسّط الزمن فيه. وكانت العلاقة مستعملةً من قبل؛ فبرهن ليتل أنها تصدق لأيّ نظامٍ مستقرّ بصرف النظر عن توزيع الوصول أو الخدمة أو نظام الطابور أو عدد الخوادم. وهي أكثر النتائج استعمالًا في العمليات، وأكثرها ذكرًا كأنها تقريب.
كينغمان، ١٩٦١، والمنعطف السلوكي. يفصل تقريبُ كينغمان للحركة الثقيلة في طابور الخادم الواحد العامّ الانتظارَ إلى عامل استغلال وعامل تباين وزمن خدمة، وهذه الصورة التي استعملها هوب وسبيرمان لاحقًا أساسًا لفيزياء المصنع. وجاءت القراءة المنافسة من مايستر، ١٩٨٥، ولارسون، ١٩٨٧: فالطوابير يسكنها أناسٌ يدركون الانتظار، ويتخلّون، ويستاؤون من الظلم، ويتصرّفون استراتيجيًّا، ونموذجٌ يعاملهم جسيماتٍ سيخطئ التنبّؤ. وذلك النقد فتح الأدبيات التجريبية.
Kendall's notation names the model. A/S/c gives the arrival process, the service distribution and the number of servers. M stands for Markovian, meaning Poisson arrivals or exponential service; D for deterministic; G for general. M/M/1 is one server with random arrivals and random service, the simplest case and the one whose formulas everyone should be able to derive. M/M/c has several servers on one queue. M/G/1 keeps random arrivals and allows any service distribution. G/G/c has no exact solution and is handled by approximation.
Little's law is an accounting identity for flow. It needs no assumption about distributions or discipline, only that the system is stable so that what arrives eventually leaves. Its use is conversion: count how many are in a system and how fast they arrive, and the average time is fixed; measure time and arrivals, and the inventory is fixed. In a factory it reads as work in process equals throughput times cycle time, which is why reducing inventory at a constant throughput is the same thing as reducing lead time.
| Utilization ρ | Average number in system, M/M/1 | Waiting relative to ρ = 0.5 |
|---|---|---|
| 0.50 | 1 | 1× |
| 0.80 | 4 | 4× |
| 0.90 | 9 | 9× |
| 0.95 | 19 | 19× |
| 0.99 | 99 | 99× |
Kingman's approximation separates the causes. For a general single-server queue, the waiting time in queue is approximately the utilization factor ρ ÷ (1 − ρ), times the variability factor (Ca × Ca + Cs × Cs) ÷ 2, times the mean service time, where Ca and Cs are the coefficients of variation of interarrival and service times. The three factors multiply. Halving variability halves waiting at any utilization, and the exponential case, where both coefficients equal one, is the M/M/1 result. This is the formula behind the lean claim that variability reduction is what permits low inventory.
Pooling is the other lever. Several separate M/M/1 queues, each with its own server, wait far longer than one M/M/c queue serving the same arrivals with the same servers, because a pooled system never has an idle server alongside a waiting customer. The gain is largest at high utilization and is the theoretical case for single lines at counters, cross-trained staff and shared capacity across departments.
ترميز كندال يسمّي النموذج. فـ A/S/c يعطي عملية الوصول وتوزيع الخدمة وعدد الخوادم. و M تعني ماركوفيًّا، أي وصولات بواسون أو خدمة أسّية؛ و D حتميًّا؛ و G عامًّا. و M/M/1 خادمٌ واحد بوصولاتٍ عشوائية وخدمةٍ عشوائية، وهي أبسط حالة والتي ينبغي أن يستطيع كلُّ أحدٍ اشتقاق صيغها. و M/M/c عدّةُ خوادم على طابورٍ واحد. و M/G/1 يبقي الوصولات العشوائية ويبيح أيّ توزيعٍ للخدمة. و G/G/c لا حلّ دقيقًا له ويُعالَج بالتقريب.
وقانون ليتل متطابقةٌ محاسبية للتدفّق. فلا يحتاج افتراضًا في التوزيعات ولا النظام، إلا أن يكون النظام مستقرًّا بحيث يغادر ما يصل في النهاية. واستعمالُه التحويل: فعُدَّ كم في النظام وكم سرعة الوصول، يتحدّد متوسّط الزمن؛ وقِس الزمن والوصولات، يتحدّد المخزون. وفي المصنع يُقرأ: العمل تحت التشغيل يساوي معدّل الإنتاج مضروبًا في زمن الدورة، ولهذا كان خفضُ المخزون عند معدّل إنتاجٍ ثابت هو عينُ خفض زمن التوريد.
| الاستغلال ρ | متوسّط العدد في النظام، M/M/1 | الانتظار نسبةً إلى ρ = ٠٫٥ |
|---|---|---|
| ٠٫٥٠ | ١ | ١× |
| ٠٫٨٠ | ٤ | ٤× |
| ٠٫٩٠ | ٩ | ٩× |
| ٠٫٩٥ | ١٩ | ١٩× |
| ٠٫٩٩ | ٩٩ | ٩٩× |
وتقريب كينغمان يفصل الأسباب. فلطابور خادمٍ واحد عامّ، زمنُ الانتظار في الطابور تقريبًا عاملُ الاستغلال ρ ÷ (1 − ρ)، مضروبًا في عامل التباين (Ca × Ca + Cs × Cs) ÷ 2، مضروبًا في متوسّط زمن الخدمة، حيث Ca و Cs معاملا الاختلاف لأزمنة ما بين الوصولات وأزمنة الخدمة. والعوامل الثلاثة تتضارب. فتنصيفُ التباين ينصّف الانتظار عند أيّ استغلال، والحالةُ الأسّية، حيث يساوي كلا المعاملين واحدًا، هي نتيجة M/M/1. وهذه الصيغة وراء دعوى الرشيق أن خفض التباين هو ما يبيح المخزون المنخفض.
والتجميع هو الرافعة الأخرى. فعدّةُ طوابير M/M/1 منفصلة، لكلٍّ خادمُه، تنتظر أطول بكثير من طابور M/M/c واحد يخدم الوصولات نفسها بالخوادم نفسها، لأن النظام المجمَّع لا يكون فيه خادمٌ عاطل إلى جانب عميلٍ منتظر أبدًا. والمكسبُ أكبر عند الاستغلال العالي، وهو الحجّة النظرية للصفّ الواحد عند الشبابيك، والموظفين متعدّدي التدريب، والطاقة المشتركة بين الأقسام.
Four kinds of study use the theory, and they need different training. Analytic modelling derives new results for a queue with a feature the literature has not solved, and the contribution is the theorem; it requires probability at a level most management programmes do not teach. Discrete-event simulation handles the systems analysis cannot, and its contribution is the modelled system rather than the method. Empirical operations management uses queuing as the measurement lens on real timestamped data, and asks whether the system behaves as the model predicts and why not. Behavioural experiments put people in queues and observe what they do.
The empirical stream is where the field has moved. Hospital emergency departments, call centres and retail checkouts have produced the sharpest findings: patients abandon in ways that depend on the visible queue rather than the expected wait; clinicians speed up when the department is crowded and then the patients return; servers in a pooled line slow down when the pressure is spread. Each of these is a departure from the model that the model made visible. A doctoral study in this stream needs event-level data and a queuing model as the null against which behaviour is measured.
Designs that fail. A cross-sectional survey of satisfaction with waiting, with no arrival or service data, cannot be connected to the theory at all. Using a daily average arrival rate when the rate varies by hour applies a steady-state model to a system that never reaches steady state, and Green, Kolesar and Whitt showed the resulting staffing errors are large and systematic. Assuming Poisson arrivals without testing for overdispersion, which appointment systems and batch arrivals both produce, leads to confident and wrong predictions.
Where a Gulf setting is distinctive on the theory's own terms. Queuing theory becomes interesting where arrivals are extreme, scheduled or constrained, and where the entity that sets the service standard is the same one that runs the queue.
أربعةُ أنواع من الدراسات تستعمل النظرية، وتحتاج تدريباتٍ مختلفة. فالنمذجة التحليلية تشتقّ نتائج جديدة لطابورٍ ذي سمةٍ لم تحلّها الأدبيات، والإسهامُ هو المبرهنة؛ وتقتضي احتمالاتٍ بمستوى لا تدرّسه أكثر برامج الإدارة. والمحاكاة بالأحداث المتقطّعة تعالج ما لا يستطيعه التحليل، وإسهامُها النظام المنمذَج لا المنهج. وإدارةُ العمليات التجريبية تستعمل الطابور عدسةَ قياسٍ على بياناتٍ حقيقية مختومة بالزمن، وتسأل هل يتصرّف النظام كما يتنبّأ النموذج ولماذا لا. والتجاربُ السلوكية تضع الناس في طوابير وتلاحظ ما يفعلون.
والتيّار التجريبي هو حيث انتقل الحقل. فأقسام الطوارئ ومراكز الاتصال ومحاسب التجزئة أنتجت أحدَّ النتائج: فالمرضى يتخلّون بطرقٍ تتبع الطابور المرئي لا الانتظار المتوقَّع؛ والأطبّاء يسرعون حين يزدحم القسم ثم يعود المرضى؛ والخوادم في الصفّ المجمَّع تبطئ حين يتوزّع الضغط. وكلُّ واحدةٍ من هذه خروجٌ عن النموذج جعله النموذجُ مرئيًّا. ودراسةُ دكتوراه في هذا التيّار تحتاج بياناتٍ على مستوى الحدث ونموذجَ طابورٍ فرضيةً صفرية يُقاس السلوك عليها.
التصاميم التي تخفق. فمسحٌ مقطعي للرضا عن الانتظار، بلا بيانات وصولٍ أو خدمة، لا يمكن وصلُه بالنظرية ألبتّة. واستعمالُ متوسّط معدّل وصولٍ يومي حين يتغيّر المعدّل بالساعة يطبّق نموذجَ حالةٍ مستقرّة على نظامٍ لا يبلغ الاستقرار أبدًا، وقد بيّن غرين وكوليسار وويت أن أخطاء التوظيف الناتجة كبيرة ومنهجية. وافتراضُ وصولات بواسون من غير اختبار فرط التشتّت، الذي تنتجه نظمُ المواعيد والوصولات بالدفعات معًا، يقود إلى تنبّؤاتٍ واثقة وخاطئة.
وحيث يتميّز السياق الخليجي بمنطق النظرية نفسه. تصير نظرية الطابور مثيرةً حيث تكون الوصولات متطرّفة أو مجدولة أو مقيَّدة، وحيث تكون الجهة التي تضع معيار الخدمة هي نفسها التي تدير الطابور.
Stationarity is assumed and rarely true. The closed-form results describe a system that has run long enough at constant rates to settle. Real arrival rates change by the hour and the system is always chasing a peak it never settles into. The stationary-independent-period-by-period shortcut, staffing each hour as its own steady state, is known to fail when service times are long relative to the rate changes, and the time-varying literature that replaces it is harder and less used.
Poisson arrivals are a convenience, not a law. They hold well for independent callers and poorly for anything scheduled, batched or reactive. Appointment systems produce underdispersed arrivals; buses, ships and shift changes produce batches; news and outages produce surges. A model fitted with the wrong arrival process gives precise answers to the wrong question.
The customers and the servers are not particles. Balking, reneging, jockeying between lines, speedup under load and slowdown under pooling are all documented, and each one breaks a formula. Larson's point about social justice in queues, that a violation of first-come-first-served angers people more than the wait itself, has no place in the mathematics and a large place in the outcome. Behavioural queuing is the response, and it is still a young literature.
Beyond the simple cases the mathematics closes quickly. M/M/1 and M/M/c have clean results. M/G/1 has a mean but not much more. G/G/c has approximations whose error is itself uncertain at the high utilizations where managers most need an answer. Networks of queues are tractable only under Jackson's assumptions, which production systems with batching and blocking violate. Simulation fills the gap at the cost of generality.
It measures time and says nothing about value. The theory returns waiting times and queue lengths. Whether a minute of a patient's wait costs more or less than a minute of a nurse's idle time is an economic and ethical judgement outside the model, and it is the judgement that actually sets capacity. Where the queue is a public service and the waiting party is a citizen, that judgement is political, and the theory offers no help with it.
It describes congestion without explaining why systems are run into it. The convex trade-off has been known since Erlang, and organizations still run at utilizations the theory says are self-defeating. Why they do is a question about incentives, budgeting and measurement, and it needs a theory of organizations that queuing theory does not contain.
الاستقرار مفترَض ونادرًا ما يصدق. فالنتائج المغلقة الصيغة تصف نظامًا جرى طويلًا بمعدّلاتٍ ثابتة حتى استقرّ. ومعدّلاتُ الوصول الحقيقية تتغيّر بالساعة والنظامُ يلاحق دائمًا ذروةً لا يستقرّ فيها أبدًا. والاختصارُ المستقرّ المستقلّ فترةً ففترة، بتوظيف كل ساعةٍ حالةً مستقرّة بذاتها، معروفُ الإخفاق حين تطول أزمنة الخدمة نسبةً إلى تغيّرات المعدّل، وأدبياتُ التغيّر بالزمن التي تحلّ محلّه أصعب وأقلّ استعمالًا.
ووصولات بواسون تسهيلٌ لا قانون. فهي تصدق جيدًا للمتّصلين المستقلّين وتصدق سيّئًا لكل ما هو مجدول أو بالدفعات أو ردّ فعل. فنظمُ المواعيد تنتج وصولاتٍ ناقصة التشتّت؛ والحافلاتُ والسفن وتبدّل الورديات تنتج دفعات؛ والأخبارُ والأعطال تنتج موجات. ونموذجٌ مُلاءَم بعملية الوصول الخاطئة يعطي أجوبةً دقيقة عن السؤال الخاطئ.
والعملاء والخوادم ليسوا جسيمات. فالإحجام، والتخلّي، والتنقّل بين الصفوف، والتسارعُ تحت الحمل، والتباطؤُ تحت التجميع، كلُّها موثَّقة، وكلُّ واحدٍ منها يكسر صيغة. ونقطةُ لارسون في العدالة الاجتماعية في الطوابير، أن انتهاك «الأول وصولًا الأول خدمةً» يُغضب الناس أكثر من الانتظار نفسه، لا موضع لها في الرياضيات وموضعُها كبير في النتيجة. والطابورُ السلوكي هو الجواب، وما يزال أدبياتٍ فتيّة.
وبعد الحالات البسيطة تنغلق الرياضيات سريعًا. فلـ M/M/1 و M/M/c نتائج نظيفة. ولـ M/G/1 متوسّط ولا كثير غيره. ولـ G/G/c تقريباتٌ خطؤها نفسه غير مؤكَّد عند الاستغلالات العالية حيث يحتاج المديرون الجواب أشدّ الحاجة. وشبكاتُ الطوابير لا تُحلّ إلا تحت افتراضات جاكسون، التي تنتهكها نظمُ الإنتاج ذات الدفعات والحجب. والمحاكاةُ تسدّ الفجوة بثمن العمومية.
وهي تقيس الزمن ولا تقول شيئًا عن القيمة. فالنظرية تعيد أزمنة انتظارٍ وأطوال طوابير. أما هل تكلّف دقيقةُ انتظار مريضٍ أكثر أو أقلّ من دقيقة عطالة ممرّض فحكمٌ اقتصادي وأخلاقي خارج النموذج، وهو الحكم الذي يحدّد الطاقة فعلًا. وحيث يكون الطابور خدمةً عامّة والمنتظرُ مواطنًا يكون ذلك الحكم سياسيًّا، ولا تقدّم النظرية فيه عونًا.
وهي تصف الازدحام من غير تفسير لماذا تُدفع النظم إليه. فالمقايضة المحدّبة معروفة منذ إرلانغ، وما تزال المنظمات تعمل عند استغلالاتٍ تقول النظرية إنها تهزم نفسها. ولماذا تفعل سؤالٌ عن الحوافز والموازنة والقياس، ويحتاج نظريةً في المنظمات لا تحتويها نظرية الطابور.