Expected utility theory is a normative theory that was later borrowed for description, and most of the confusion around it comes from forgetting which of the two is being claimed at any moment. It makes two separable assertions. The first is mathematical: a preference ordering over gambles that satisfies four conditions can be represented as the expectation of a utility function. The second is philosophical: those four conditions are what it means to be rational about risk.
The mathematical assertion is a theorem and is not in dispute. The philosophical one is a position, and it has been argued about since it was stated. The empirical assertion, that people actually choose this way, is the weakest of the three and is the one this page treats most sceptically.
The previous page in this sequence attacks the theory from the side of process: nobody computes an expectation across a full consequence space, and Simon's objection is that the model describes a calculation, not a chooser. This page takes the model on its own terms and asks whether the conditions themselves hold, because that is a separate question. A perfectly attentive chooser with unlimited time can still violate independence, and people reliably do. The page after this one keeps the arithmetic and replaces what goes into it.
The theory earns its position despite all of this. It is the only account of risky choice with a clean axiomatic foundation, it is what optimization, insurance pricing, portfolio theory and decision analysis are built on, and every descriptive alternative is defined by which of its axioms it gives up. A researcher who does not know it precisely cannot state what a behavioral finding is a deviation from.
نظرية المنفعة المتوقعة نظريةٌ معيارية استُعيرت بعد ذلك للوصف، وأكثرُ اللبس حولها ناشئٌ من نسيان أيّ الأمرين مدّعًى في كل موضع. وهي تقرّر دعويين منفصلتين. الأولى رياضية: كلُّ ترتيبٍ تفضيلي على الرهانات يستوفي أربعة شروطٍ يمكن تمثيلُه بتوقّع دالّة منفعة. والثانية فلسفية: تلك الشروط الأربعة هي معنى العقلانية إزاء المخاطرة.
والدعوى الرياضية مبرهنةٌ لا نزاع فيها. أما الفلسفية فموقفٌ يُجادَل فيه منذ قيل. وأما الدعوى التجريبية، أي أن الناس يختارون فعلًا على هذا النحو، فأضعف الثلاث، وهي التي تعاملها هذه الصفحة بأشدّ الارتياب.
والصفحةُ السابقة في هذا التسلسل تهاجم النظرية من جهة الإجراء: فلا أحد يحسب توقّعًا عبر فضاء عواقب كامل، واعتراضُ سايمون أن النموذج يصف حسابًا لا مختارًا. وهذه الصفحة تأخذ النموذج بشروطه هو وتسأل هل تصدق الشروط نفسها، فذلك سؤالٌ آخر. فالمختارُ التامّ الانتباه ذو الوقت غير المحدود قد ينتهك الاستقلال، والناسُ ينتهكونه على نحوٍ يُعتمَد عليه. أما الصفحة التي تلي هذه فتُبقي الحساب وتستبدل ما يدخل فيه.
ومع هذا كلِّه تستحقّ النظريةُ موضعَها. فهي البيان الوحيد للاختيار المحفوف بالمخاطرة ذو الأساس البديهي النظيف، وعليها تقوم الأمثَلة وتسعيرُ التأمين ونظريةُ المحفظة وتحليلُ القرار، وكلُّ بديلٍ وصفيّ إنما يتعرّف بأيّ بديهياتها يتخلّى عنه. ومن لم يعرفها معرفةً دقيقة لم يستطع أن يقول عمّا تنحرف نتيجةٌ سلوكية.
Bernoulli, 1738. The St Petersburg problem. A coin is tossed until it lands heads; the payment doubles with every tail; the expected value of the game is unbounded, and yet no one will pay a large sum to play. Bernoulli's resolution is that people value the money, not the count: a concave function of wealth, for which he proposed the logarithm, makes the expected utility of the game finite and small. Two ideas enter economics here and stay. Risk attitude is a property of the curvature of the valuation function rather than a separate taste for gambling, and the argument of that function is total wealth rather than the amount won. The answer is also incomplete, and usefully so: for any unbounded utility function a payoff schedule can be built that restores an infinite expectation, which is why bounded utility became the standard patch. A fix that solves the presenting example is not a fix that solves the class.
von Neumann and Morgenstern, 1944. Theory of Games and Economic Behavior. The axiomatic derivation was set out fully in the appendix of the second edition three years later, and it is the derivation, not the arithmetic, that matters. Given preferences over lotteries satisfying the axioms, a utility function exists whose expectation orders those lotteries exactly as the preferences do, and it is unique up to a positive affine transformation. Utility is no longer an assumed psychological quantity that explains choice. It is constructed from choice, which is what let the concept survive the ordinalist objection that had discredited its nineteenth century form.
Savage, 1954. The Foundations of Statistics. Objective probabilities are available in dice games and almost nowhere in management. Savage builds the theory over states of the world, acts as functions from states to consequences, and preferences over acts. From a set of postulates including the sure-thing principle he derives both a subjective probability distribution and a utility function jointly, so that the agent behaves as if maximizing expected utility with beliefs of their own. This is the version that decision analysis and Bayesian statistics actually use.
Allais, 1953. The first systematic empirical attack, and it targets independence directly. Presented with a pair of choices in which a common component appears in both options of each pair and should therefore cancel, most respondents switch in a way no expected utility function permits. The pattern has a name, the certainty effect: an outcome that is certain is treated as categorically different from one that is nearly certain, and reducing a probability from one to slightly below one costs more than an equal reduction lower down the scale.
Ellsberg, 1961. The urn problems, aimed at Savage rather than at von Neumann and Morgenstern. Offered a bet on a known composition and the same bet on an unknown one, most people take the known urn, and they do so whichever colour they are asked to bet on. No single subjective probability distribution can rationalize both preferences at once, so the failure is not of independence but of the prior assumption that the agent holds a probability at all. This founded the literature on ambiguity as distinct from risk.
Rabin, 2000. The sharpest modern critique, and it needs no experiment. If an expected utility maximizer over lifetime wealth turns down a modest favourable gamble at every wealth level, then the curvature required implies rejection of enormously favourable large gambles, at magnitudes nobody rejects. Small-stakes risk aversion therefore cannot come from the concavity of utility over wealth. The theory is not merely imprecise at small stakes; it is structurally the wrong instrument there.
برنولي، ١٧٣٨. مسألة سان بطرسبرغ. تُقذَف قطعةُ نقدٍ حتى تقع على وجهٍ بعينه، ويتضاعف العطاء مع كل قذفةٍ سابقة، فتكون القيمة المتوقعة للّعبة غير محدودة، ومع ذلك لا يدفع أحدٌ مبلغًا كبيرًا للعب. وحلُّ برنولي أن الناس يقدّرون المال لا العدد: فدالّةٌ مقعّرة في الثروة، اقترح لها اللوغاريتم، تجعل المنفعة المتوقعة للّعبة متناهيةً صغيرة. وتدخل هنا فكرتان تبقيان في الاقتصاد. الأولى أن الموقف من المخاطرة خاصّيةٌ في تقعّر دالّة التقييم لا ذوقٌ مستقلّ للمقامرة. والثانية أن وسيط تلك الدالّة هو الثروة الكلّية لا مقدار المكسب. والجوابُ ناقصٌ كذلك نقصًا نافعًا: إذ يمكن، لأيّ دالّة منفعةٍ غير محدودة، بناءُ جدول عطاءٍ يعيد التوقّع لا نهائيًّا، ولهذا صارت المنفعة المحدودة هي الرقعة المعتادة. فالإصلاحُ الذي يحلّ المثال المعروض ليس هو الذي يحلّ الصنف.
فون نويمان ومورغنشتيرن، ١٩٤٤. «نظرية الألعاب والسلوك الاقتصادي». وقد بُسط الاشتقاق البديهي تمامًا في ملحق الطبعة الثانية بعد ثلاث سنوات، والاشتقاقُ هو المهمّ لا الحساب. فإذا استوفت التفضيلاتُ على الرهانات البديهيات، وُجدت دالّةُ منفعةٍ يرتّب توقّعُها تلك الرهانات كما ترتّبها التفضيلات تمامًا، وهي وحيدةٌ إلى حدّ تحويلٍ خطّي موجب. فلم تعد المنفعة كمّيةً نفسية مفترضة تفسّر الاختيار، بل صارت مبنيّةً من الاختيار، وهذا ما أتاح للمفهوم النجاةَ من الاعتراض الترتيبي الذي أسقط صورته في القرن التاسع عشر.
سافيج، ١٩٥٤. «أسس الإحصاء». الاحتمالاتُ الموضوعية متاحةٌ في ألعاب النرد وتكاد تنعدم في الإدارة. فبنى سافيج النظرية على حالات العالم، والأفعالُ دوالُّ من الحالات إلى العواقب، والتفضيلاتُ على الأفعال. ومن جملة مصادراتٍ منها مبدأ الشيء المؤكّد اشتقّ توزيعًا احتماليًّا ذاتيًّا ودالّةَ منفعةٍ معًا، بحيث يسلك الفاعل كأنه يعظّم منفعةً متوقعة باعتقاداتٍ من عنده. وهذه هي الصورة التي يستعملها فعلًا تحليلُ القرار والإحصاء البايزي.
أليه، ١٩٥٣. أول هجومٍ تجريبي منهجي، وهو يستهدف الاستقلال مباشرةً. فحين يُعرَض زوجٌ من الاختيارات يظهر فيه مكوّنٌ مشترك في خياري كل زوج فيجب أن يتلاشى، ينتقل أكثرُ المستجيبين انتقالًا لا تبيحه دالّةُ منفعةٍ متوقعة البتّة. وللنمط اسم: أثر اليقين. فالنتيجةُ المؤكّدة تُعامَل معاملةً مختلفةً في النوع عن النتيجة التي تكاد تكون مؤكّدة، وخفضُ الاحتمال من واحدٍ إلى ما دونه بقليل أغلى من خفضٍ مساوٍ في أسفل السلّم.
إلسبرغ، ١٩٦١. مسائل الجرار، وهي موجَّهة إلى سافيج لا إلى فون نويمان ومورغنشتيرن. فإذا عُرض رهانٌ على تركيبةٍ معلومة والرهانُ نفسُه على تركيبةٍ مجهولة، أخذ أكثرُ الناس الجرّة المعلومة، وفعلوا ذلك أيًّا كان اللون المسؤول عنه. ولا يستطيع توزيعٌ احتمالي ذاتي واحد تسويغ التفضيلين معًا، فالإخفاقُ إذن ليس في الاستقلال بل في الافتراض السابق أن الفاعل يحمل احتمالًا أصلًا. وبهذا تأسّست أدبيات الغموض بوصفه غير المخاطرة.
رابين، ٢٠٠٠. أحدّ النقد الحديث، ولا يحتاج إلى تجربة. فإذا ردّ معظّمُ المنفعة المتوقعة على الثروة مدى الحياة رهانًا متواضعًا مواتيًا عند كل مستوى ثروة، لزم من التقعّر المطلوب ردُّ رهاناتٍ كبيرة مواتيةٍ إلى حدٍّ هائل، بمقاديرَ لا يردّها أحد. فالنفورُ من المخاطرة في الرهانات الصغيرة لا يمكن إذن أن يأتي من تقعّر المنفعة في الثروة. وليست النظرية غيرَ دقيقةٍ في الرهانات الصغيرة فحسب، بل هي الأداة الخطأ هناك بِنيويًّا.
Each possible outcome of the gamble is converted into a utility, each utility is multiplied by the probability of the outcome that produced it, and the products are added. Two gambles are compared by comparing these sums. The whole structure is linear in probabilities, and that linearity is where every later objection lands.
| Axiom | What it requires | What a violation looks like |
|---|---|---|
| Completeness | For any two gambles the chooser prefers one or is indifferent between them, with no third answer | Declared incomparability, systematic refusal to rank, a default option chosen because ranking was avoided |
| Transitivity | If A is at least as good as B and B at least as good as C, then A is at least as good as C | Preference cycles, most often when alternatives differ on several attributes and comparison is made pairwise |
| Continuity | If A is preferred to B and B to C, some probability mixture of A and C is exactly as good as B | Lexicographic preferences, and any outcome treated as admitting no trade against a probability, such as a fatality or an irreversible loss |
| Independence | If A is preferred to B, then mixing each with the same third gamble at the same probability preserves the preference | The Allais pattern and the certainty effect, in which the shared component demonstrably does not cancel |
Independence is the axiom that does the distinctive work. Completeness, transitivity and continuity are shared by almost every serious rival theory. Independence is what forces linearity in probabilities and therefore what produces the expected value form. Rank-dependent utility, prospect theory and regret theory are all, structurally, ways of relaxing it. The practical consequence for a researcher is blunt: a study that says it tests expected utility is nearly always testing independence, and saying so makes the contribution legible instead of vague.
Risk attitude lives in the curvature of u. A concave utility function makes the certainty equivalent of a gamble lower than its expected value, which is risk aversion; a convex one produces the reverse. The Arrow and Pratt coefficient measures the curvature locally and allows the strength of risk aversion to be compared across wealth levels and across people once a functional form is imposed. Constant relative risk aversion and constant absolute risk aversion are the two forms almost all empirical work uses, and the choice between them is a substantive assumption about how risk taking scales with wealth, not a convenience.
Savage's version derives the probabilities as well. The sure-thing principle plays the role independence plays in the objective setting: if two acts agree on some set of states, what they pay in those states cannot affect which is preferred. From this and the other postulates both belief and taste are recovered from choice behavior alone. This is elegant and it is also demanding, because it requires the agent to be willing to bet on every event, including events they know nothing about, which is exactly the requirement Ellsberg's subjects refused.
تُحوَّل كلُّ نتيجةٍ ممكنة للرهان إلى منفعة، وتُضرب كلُّ منفعةٍ في احتمال النتيجة التي أنتجتها، ثم تُجمع الحواصل. ويُقارَن رهانان بمقارنة هذين المجموعين. والبِنيةُ كلُّها خطّيةٌ في الاحتمالات، وعند تلك الخطّية يقع كلُّ اعتراضٍ لاحق.
| المسلّمة | ما تقتضيه | صورةُ انتهاكها |
|---|---|---|
| التمام | لأيّ رهانين يفضّل المختار أحدهما أو يستوي عنده، ولا جواب ثالث | إعلانُ تعذّر المقارنة، ورفضُ الترتيب منهجيًّا، واختيارُ الخيار الافتراضي تهرّبًا من الترتيب |
| التعدّي | إذا كان «أ» لا يقلّ عن «ب» و«ب» لا يقلّ عن «ج»، فـ«أ» لا يقلّ عن «ج» | دوراتٌ تفضيلية، وأكثر ما تقع حين تختلف البدائل في سماتٍ عدّة وتجري المقارنة أزواجًا |
| الاتّصال | إذا فُضِّل «أ» على «ب» و«ب» على «ج»، وُجد مزيجٌ احتمالي من «أ» و«ج» يساوي «ب» تمامًا | التفضيلاتُ المعجمية، وكلُّ نتيجةٍ تُعامَل على أنها لا تقبل مقايضةً باحتمال، كوفاةٍ أو خسارةٍ لا رجعة فيها |
| الاستقلال | إذا فُضِّل «أ» على «ب»، فمزجُ كلٍّ منهما بالرهان الثالث نفسِه بالاحتمال نفسِه يُبقي التفضيل | نمطُ أليه وأثرُ اليقين، حيث يتبيّن أن المكوّن المشترك لا يتلاشى |
والاستقلال هو المسلّمة التي تؤدّي العمل المميِّز. فالتمام والتعدّي والاتّصال تشترك فيها كلُّ نظريةٍ منافسة جادّة تقريبًا. والاستقلالُ هو ما يفرض الخطّية في الاحتمالات، وهو من ثمّ ما ينتج صيغة القيمة المتوقعة. والمنفعةُ المعتمدة على الرتبة، ونظريةُ الاحتمال، ونظريةُ الندم، كلُّها بِنيويًّا سبلٌ لإرخائه. واللازمُ العملي للباحث صريح: فالدراسةُ التي تقول إنها تختبر المنفعة المتوقعة تختبر الاستقلال في الغالب الأعمّ، والتصريحُ بذلك يجعل الإسهام مقروءًا بدل أن يكون مبهمًا.
وموقفُ المخاطرة ساكنٌ في تقعّر دالّة المنفعة. فالدالّةُ المقعّرة تجعل المكافئ اليقيني للرهان دون قيمته المتوقعة، وذلك هو النفور من المخاطرة؛ والمحدَّبة تعكس الأمر. ومعامِلُ آرو وبرات يقيس التقعّر موضعيًّا، ويتيح مقارنة شدّة النفور بين مستويات الثروة وبين الأشخاص متى فُرضت صيغةٌ دالّية. والنفورُ النسبي الثابت والنفورُ المطلق الثابت هما الصيغتان اللتان يستعملهما أكثرُ العمل التجريبي، والاختيارُ بينهما افتراضٌ جوهري في كيفية تدرّج المخاطرة مع الثروة لا تسهيلٌ إجرائي.
وصيغةُ سافيج تشتقّ الاحتمالات كذلك. فمبدأُ الشيء المؤكّد يؤدّي الدور الذي يؤدّيه الاستقلال في السياق الموضوعي: فإذا اتّفق فعلان في مجموعةٍ من الحالات، لم يجز لما يدفعانه في تلك الحالات أن يؤثّر في أيّهما يُفضَّل. ومن هذا وسائرِ المصادرات يُستردّ الاعتقاد والذوق معًا من سلوك الاختيار وحده. وهذا أنيق، وهو كذلك شديد الطلب، لأنه يقتضي استعداد الفاعل للمراهنة على كل حدث، بما في ذلك أحداثٌ لا يعلم عنها شيئًا، وهو الاشتراط الذي رفضه مبحوثو إلسبرغ بعينه.
Say which of the three claims you are working with. Using expected utility normatively, as the standard a decision procedure should meet, is legitimate and needs no defence of its realism. Using it descriptively, as a model of what choosers do, requires engaging with fifty years of evidence that they do not. Using it as a null hypothesis against which an alternative is tested is the most productive of the three and is what most good empirical papers in this area actually do.
Elicitation is the methodological core, and it is where studies are won or lost. The standard instruments are the multiple price list, in which a participant switches between a fixed gamble and a rising sure amount; the Becker, DeGroot and Marschak mechanism, which makes truthful reporting of a valuation optimal; direct certainty equivalents; and the random lottery incentive scheme, which pays one randomly selected decision so each choice is incentivized without wealth effects accumulating. Structural estimation then fits a functional form to the switching points.
Designs that fail. A single hypothetical question about willingness to take risks, treated as a utility parameter. Inference of risk aversion from a portfolio share without modelling beliefs, borrowing constraints and background risk, all of which move holdings independently of preference. A claim to have refuted expected utility from choices in which no axiom was manipulated. Any test in which the alternative has more free parameters and is judged on fit alone, which settles the result before the data arrive.
Angles where a Gulf setting is analytically distinctive. The theory is about preferences over payoff distributions, so it becomes locally interesting wherever institutions change which distributions are available at all, rather than merely which are chosen.
صرّح بأيّ الدعاوى الثلاث تشتغل. فاستعمال المنفعة المتوقعة معياريًّا، أي مقياسًا ينبغي لإجراء القرار بلوغه، مشروعٌ ولا يحتاج إلى دفاعٍ عن واقعيّته. واستعمالُها وصفيًّا، أي نموذجًا لما يفعله المختارون، يقتضي الاشتباك مع خمسين سنةً من الأدلّة على أنهم لا يفعلون. واستعمالُها فرضيةَ عدمٍ يُختبَر بإزائها بديل، أخصبُ الثلاثة، وهو ما تفعله فعلًا أكثرُ الأوراق التجريبية الجيدة في هذا الباب.
والاستنباط هو اللبّ المنهجي، وعنده تُربح الدراسات أو تُخسر. والأدواتُ المعيارية: قائمةُ الأسعار المتعدّدة، وفيها ينتقل المشارك بين رهانٍ ثابت ومبلغٍ مؤكّد متصاعد؛ وآليةُ بيكر وديغروت ومارشاك التي تجعل الإبلاغ الصادق عن التقييم هو الأمثل؛ والمكافئاتُ اليقينية المباشرة؛ ونظامُ حافز الرهان العشوائي الذي يدفع قرارًا واحدًا يُنتقى عشوائيًّا فيصير كلُّ اختيارٍ محفَّزًا من غير تراكم آثار الثروة. ثم يلائم التقديرُ البِنيوي صيغةً دالّيةً على نقاط الانتقال.
التصاميم التي تخفق. سؤالٌ افتراضي واحد عن الاستعداد لتحمّل المخاطرة يُعامَل معلَمَ منفعة. واستنتاجُ النفور من المخاطرة من حصّة محفظةٍ ملحوظة من غير نمذجة الاعتقادات وقيود الاقتراض والمخاطرة الخلفية، وكلُّها تحرّك الحيازات استقلالًا عن التفضيل. ودعوى نقض المنفعة المتوقعة من اختياراتٍ لم تُعالَج فيها مسلّمة. وكلُّ اختبارٍ تكون فيه النظريةُ البديلة أكثرَ معالمَ حرّة ويُحكَم لها بالملاءمة وحدها، فذلك يضمن النتيجة قبل ورود البيانات.
زوايا يكون السياق الخليجي فيها متميّزًا تحليليًّا. فالنظرية في التفضيلات على توزيعات العطاء، فتصير محلّيّةَ الطرافة حيثما غيّرت المؤسسات أيّ التوزيعات متاحٌ أصلًا، لا أيّها يُختار فحسب.
Independence fails systematically, and the failure is not an artifact. The Allais pattern has been reproduced with real money, with experienced participants, in many countries and at varying stakes. It is not a misunderstanding of the question and it does not disappear when the choice is explained. Any defence of expected utility as a description has to account for a violation that is stable, directional and predictable, which is a stronger demand than accounting for noise.
Ellsberg breaks something more basic than an axiom about mixing. The two-urn preference shows people distinguishing risk, where probabilities are known, from ambiguity, where they are not. Savage's framework has no room for that distinction by construction, because probability is derived from the willingness to bet. Business decisions are almost always ambiguous in this sense, so the theory's most applicable version is the one the evidence hits hardest.
Rabin's calibration result forbids the standard descriptive use. Small-stakes risk aversion cannot be generated by concavity of utility over wealth without absurd implications at large stakes. This is a proof, not a finding. Fitting a utility curve to laboratory gambles over small amounts and reading the parameter as a wealth-utility curvature is therefore not conservative modelling but a category error.
The recovered utility function is not stable. Parameters differ by elicitation instrument, by stake size, by whether outcomes are framed as gains or losses and by order of presentation. A quantity that changes with the way it is measured is not being recovered from the person, and treating an estimated coefficient as a personal characteristic overstates what the procedure delivers.
The probabilities have to come from somewhere. In the objective version they are given, which happens in gambling devices and in very few management problems. In the subjective version they are derived, but the derivation requires a rich state space, a willingness to bet on everything and a preference relation defined over acts nobody has considered. Neither version explains where a manager's probability estimate for a novel event originates, and that is usually the substantive question.
It is silent about process and about description, and these are two different silences. The bounded rationality objection on the first page of this sequence is that nobody performs the computation. The prospect theory objection on the next page is that even a chooser who performs it is not evaluating final wealth states with linear probabilities. Conflating the two produces the confused claim that behavioral evidence shows people are bad at arithmetic. It shows something more specific: that the arguments of the function are wrong, and separately, that the function is not being computed.
الاستقلال يخفق إخفاقًا منهجيًّا، وليس الإخفاق مصنوعًا. فنمطُ أليه أُعيد إنتاجه بمالٍ حقيقي، ومع مشاركين ذوي خبرة، في بلدانٍ كثيرة، وبرهاناتٍ متفاوتة الحجم. وليس سوءَ فهمٍ للسؤال، ولا يزول حين يُشرَح الاختيار. وكلُّ دفاعٍ عن المنفعة المتوقعة بوصفها وصفًا عليه أن يفسّر انتهاكًا مستقرًّا اتّجاهيًّا قابلًا للتنبّؤ، وهذا طلبٌ أشدّ من تفسير ضجيج.
وإلسبرغ يكسر ما هو أعمق من مسلّمةٍ في المزج. فتفضيلُ الجرّتين يبيّن أن الناس يميّزون المخاطرةَ، حيث الاحتمالات معلومة، من الغموض، حيث ليست كذلك. وإطارُ سافيج لا موضع فيه لهذا التمييز بحكم البناء، لأن الاحتمال مشتقٌّ من الاستعداد للمراهنة. وقراراتُ الأعمال غامضةٌ بهذا المعنى في الغالب الأعمّ، فأصلحُ صور النظرية للتطبيق هي التي يصيبها الدليل أشدَّ إصابة.
ونتيجةُ رابين المعايِرة تمنع الاستعمال الوصفي المعتاد. فالنفورُ من المخاطرة في الرهانات الصغيرة لا يمكن توليده من تقعّر المنفعة في الثروة بلا لوازمَ سخيفة في الرهانات الكبيرة. وهذه برهانٌ لا نتيجةُ رصد. فملاءمةُ منحنى منفعةٍ على رهاناتٍ مختبرية صغيرة ثم قراءةُ المعلَم تقعّرًا لمنفعة الثروة ليست نمذجةً متحفّظة بل خطأٌ في الصنف.
ودالّةُ المنفعة المستردّة غير مستقرّة. فالمعالم تختلف باختلاف أداة الاستنباط، وحجم الرهان، وكون النتائج مؤطَّرةً مكاسبَ أو خسائر، وترتيبِ العرض. والكمّيةُ التي تتغيّر بتغيّر طريقة قياسها ليست مستردّةً من الشخص، ومعاملةُ معامِلٍ مقدَّر خاصّيةً شخصية تبالغ فيما يقدّمه الإجراء.
وللاحتمالات مصدرٌ لا بدّ منه. ففي الصورة الموضوعية هي معطاة، وذلك يقع في أدوات المقامرة وفي قليلٍ جدًّا من مسائل الإدارة. وفي الصورة الذاتية هي مشتقّة، لكن الاشتقاق يقتضي فضاء حالاتٍ ثريًّا، واستعدادًا للمراهنة على كل شيء، وعلاقةَ تفضيلٍ معرَّفة على أفعالٍ لم ينظر فيها أحد. ولا تفسّر الصورتان من أين ينشأ تقديرُ مديرٍ لاحتمال حدثٍ مستجدّ، وذلك عادةً هو السؤال الجوهري.
وهي صامتةٌ عن الإجراء وعن الوصف، وهذان صمتان مختلفان. فاعتراضُ العقلانية المحدودة في الصفحة الأولى من هذا التسلسل أن أحدًا لا يجري الحساب. واعتراضُ نظرية الاحتمال في الصفحة التالية أن المختار حتى لو أجراه فهو لا يقوّم حالاتِ ثروةٍ نهائية باحتمالاتٍ خطّية. وخلطُ الاثنين ينتج الدعوى الشائعة المضطربة أن الأدلّة السلوكية تُظهر رداءة الناس في الحساب. بل هي تُظهر ما هو أدقّ: أن وسائط الدالّة خطأ، وأن الدالّة، وهذا أمرٌ آخر، لا تُحسَب أصلًا.